Autour de la division euclidienne - Corrigé

Énoncé

Dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\) , on note \(q\) le quotient et \(r\) le reste.

1. Si \(b=9\) , quelles sont les valeurs possibles de \(r\) ?

2. Si \(b=7\) et \(q=-3\) , quelles sont les valeurs possibles de \(a\) ?

3. Si \(a=42\) et \(r=4\) , déterminer \(b\) et \(q\) .

Solution

1. Comme \(0 \leqslant r, les valeurs possibles de \(r\) sont \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) , \(5\) , \(6\) , \(7\) et \(8\) .

2. On peut écrire : \(a=bq+r=7 \times (-3)+r=-21+r\) avec \(0 \leqslant r<7\) .
Il y a donc sept valeurs possibles pour \(a\) , selon que \(r\) vaille entre \(0\) et \(6\) : \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline r& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline a& -21& -20& -19& -18& -17& -16& -15\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

3. On peut écrire : \(42=bq+4\) avec \(0 \leqslant 4. On a donc :  \(\begin{align*}42=bq+4 \ \ \Longleftrightarrow \ \ bq=38\end{align*}\) donc \(b\) et \(q\) sont des diviseurs positifs de \(38\) (positifs car \(b>0\) ).
Les diviseurs positifs de \(38\) sont \(1\) , \(2\) , \(19\) et \(38\) .
Comme \(b>4\) , il y a deux possibilités :  \(b=19\) et \(q=2\) ; ou  \(b=38\) et \(q=1\) .